Download PDF by Jörg Bewersdorff: Algebra fur Einsteiger: Von der Gleichungsauflosung zur

By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 3834807761

ISBN-13: 9783834807762

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Damit verbunden entwickelte sich ein Interesse dafür, die prinzipiellen Eigenschaften von Gleichungen noch besser und vor allem systematischer zu studieren. In diesem Zusammenhang wurde auch die hier wiedergegebene Aufgabe gestellt und gelöst. Sie ist zu finden in dem 1591 erschienenen Werk In artem analyticem isagoge von François Viète. Neben der Schaffung einer bereits zweckmäßigeren Symbolik legte Viète in seinem Buch ausführlich dar, welche Transformationen bei Gleichungen zulässig sind, ohne dass die Lösungen verändert werden.

Für den Fall einer quadratischen Gleichung erhält die wohlbekannte Auflösungsformel damit eine neue Interpretation: x1,2 = 21 ( x1 + x2 ) ± 21 ( x1 − x2 ) = 21 ( x1 + x2 ) ± 1 2 ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 Bemerkenswert ist, dass für die Quadratwurzel, die sicherlich der entscheidende Zwischenwert im Rahmen der Gleichungsauflösung ist, ein einfacher Ausdruck, nämlich (x1 – x2), auf der Basis der Lösungen gefunden werden kann. 2. Auch bei der allgemeinen kubischen sowie der allgemeinen biquadratischen Gleichung lassen sich für die Zwischenwerte, die bei der Auflösung zu berechnen sind, entsprechende Ausdrücke auf Basis der Lösungen finden.

Wir haben bereits gesehen, dass die Funktionswerte f (z) des Polynoms außerhalb eines genügend großen Kreises betragsmäßig den Wert | f (0)| = |a0| übersteigen. Das Minimum der reellwertigen Funktion | f (z)| ist daher innerhalb des Kreises zu finden und wird dort – so ein Satz über die Extremwerte von stetigen, reellwertigen Funktionen (mehrerer Veränderlicher) – an einer Stelle angenommen, die wir mit z0 bezeichnen. Eine Entwicklung des Polynoms nach z0 besitzt die Form f ( z ) = b0 + bm ( z − z 0 ) m + bm+1 ( z − z 0 ) m+1 + K + bn ( z − z 0 ) n , wobei der Index m ≥ 1 so gewählt ist, dass bm ≠ 0 ist.

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Algebra fur Einsteiger: Von der Gleichungsauflosung zur Galois-Theorie by Jörg Bewersdorff


by John
4.0

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